Phương pháp bình phương tối thiểu (Least Squares Method) là gì? Đặc điểm và ví dụ

Phương pháp bình phương tối thiểu

Khái niệm

Phương pháp bình phương tối thiểu trong tiếng Anh là Least Squares Method.

Phương pháp bình phương tối thiểu là một dạng phân tích hồi qui toán học được sử dụng để xác định đường biểu diễn phù hợp nhất cho một tập dữ liệu, cung cấp một phép minh họa trực quan về mối quan hệ giữa các điểm dữ liệu trong tập dữ liệu. 

Mỗi điểm dữ liệu biểu thị mối quan hệ giữa một biến độc lập đã biết và một biến phụ thuộc chưa biết.   

Đặc điểm Phương pháp bình phương tối thiểu 

Phương pháp bình phương tối thiểu cung cấp cơ sở lí luận chung cho việc sắp xếp tạo ra đường biểu diễn phù hợp nhất từ các điểm dữ liệu đang được nghiên cứu. 

Ứng dụng phổ biến nhất của phương pháp này là các phương pháp xác định đường tuyến tính, vẽ ra một đường thẳng tối thiểu hóa tổng bình phương của các lỗi có thể xuất hiện trong các kết quả của các phương trình liên quan. 

Chẳng hạn như như phần dư hay mức chênh lệch giữa giá trị quan sát và giá trị dự đoán bình phương.     

Phương pháp phân tích hồi qui này được thực hiện bằng cách biểu diễn tập hợp các điểm dữ liệu trên biểu đồ gồm có trục x và trục y. 

Sau đó, nhà phân tích sẽ xác định một đường biểu diễn phù hợp nhất giải thích mối quan hệ tiềm năng giữa các biến độc lập và phụ thuộc.   

Trong phân tích hồi qui, các biến phụ thuộc được minh họa trên trục y hay trục hoành, trong khi các biến độc lập được minh họa trên trục x hay trục tung. 

Ngược lại với bài toán tuyến tính là bài toán bình phương tối thiểu phi tuyến tính không có kết quả cuối cùng mà được giải quyết bằng cách lặp lại. 

Nhà toán học và nhà khoa học người Đức, Carl Friedrich Gauss là người đã phát hiện ra phương pháp bình phương tối thiểu vào năm 1795. 

Ví dụ về Phương pháp bình phương tối thiểu 

Giả sử một nhà phân tích muốn kiểm tra mối quan hệ giữa lợi nhuận cổ phiếu của công ty A và lợi nhuận của chỉ số B mà cổ phiếu công ty A là thành phần. 

Trong ví dụ này, nhà phân tích tìm cách kiểm tra sự phụ thuộc của lợi nhuận cổ phiếu A vào lợi nhuận của chỉ số B. Để đạt được điều này, tất cả các tỉ lệ lợi nhuận của cả cổ phiếu A và chỉ số B được biểu diễn trên biểu đồ. 

Với lợi nhuận của chỉ số B là biến độc lập và lợi nhuận của cổ phiếu A là biến phụ thuộc. Đường thẳng đúng nhất sẽ là đường giải thích mối quan hệ giữa hai biến trên, cũng như cung cấp các hệ số giải thích mức độ phụ thuộc cho nhà phân tích.  

Đường hồi qui bình phương tối thiểu 

Đường biểu diễn phù hợp nhất được xác định bởi phương pháp bình phương tối thiểu có dạng phương trình tổng quát để cho biết mối quan hệ giữa các điểm dữ liệu.   

Nếu dữ liệu cho thấy mối quan hệ rõ ràng giữa hai biến nhất định, đường biểu diễn phù hợp nhất với mối quan hệ tuyến tính này được gọi là đường hồi qui bình phương tối thiểu. 

Đường hồi qui bình phương tối thiểu có khoảng cách sao cho giữa các điểm dữ liệu đến đường này bình phương nhỏ nhất. 

Nguyên nhân cần phải bình phương khoảng cách giữa các điểm dữ liệu và đường hồi qui là để ngăn các điểm dữ liệu trái dấu triệt tiêu cho nhau.   

(Theo Investopedia)